Question

下列判断正确的是

③

（把正确的序号都填上）．
①函数y=|x-1|与y=

x-1，x＞1 1-x，x＜1

是同一函数；
②若函数f（x）在区间（-∞，0）上递增，在区间[0，+∞）上也递增，则函数f（x）必在R上递增；
③对定义在R上的函数f（x），若f（2）≠f（-2），则函数f（x）必不是偶函数；
④函数f（x）=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递减；
⑤若x₁是函数f（x）的零点，且m＜x₁＜n，那么f（m）•f（n）＜0．

Answer 1

分析：①函数y=|x-1|=

x-1，x≥1 1-x，x＜1

与y=

x-1，x＞1 1-x，x＜1

的定义域不同；
②例如函数y=

lg(x+1)，x≥0 - 1 x ，x＜0

可以说明②错误
③由偶函数的定义可知，若f（x）为偶函数，则对任意的f（-x）=f（x）；
④函数f（x）=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，不能用“∪”连接单调区间
⑤只有x₁为区间（m，n）内唯一的零点时，才有f（m）•f（n）＜0

解答：解：①函数y=|x-1|=

x-1，x≥1 1-x，x＜1

与y=

x-1，x＞1 1-x，x＜1

的定义域不同，故不是同一函数；①错误
②例如函数y=

lg(x+1)，x≥0 - 1 x ，x＜0

在区间（-∞，0）上递增，在区间[0，+∞）上也递增，函数f（x）在R上不是递增；②错误
③由偶函数的定义可知，若f（x）为偶函数，则对任意的f（-x）=f（x），从而可得，f（2）≠f（-2），则函数f（x）必不是偶函数；③正确
④函数f（x）=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上单调递减，不能用“∪”连接单调区间；④错误
⑤若x₁是函数f（x）的零点，且m＜x₁＜n，且x₁为区间（m，n）内唯一的零点时，才有f（m）•f（n）＜0．⑤错误
故答案为：③

点评：本题主要考察了函数知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本知识并能灵活应用．