Question

设F₁、F₂为椭圆的左右焦点，过椭圆

x2

25

+

y2

16

=1的中心任作一直线与椭圆交于PQ两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，

PF1

•

PF2

的值等于

 

．

Answer 1

分析：欲求四边形PF₁QF₂面积最大时，

PF1

•

PF2

的值，根据图形的几何性质得到该四边形是平行四边形．
此四边形可以成两个全等三角形的组合图形，SPF1QF2=|

PF1

||

PF2

|  sinθ，当θ取最大值时四边形PF₁QF₂面积最大，易得当点P、Q分别在上下顶点时符合要求．于是

PF1

•

PF2

=|

PF1

|2cosθ，即可得到结果．

解答：解：因为四边形是平行四边形，
所以，四边形可以成两个全等三角形的组合图形，则SPF1QF2=|

PF1

||

PF2

|  sinθ；
当θ取最大值时四边形PF₁QF₂面积最大，sinθ=

24

25

即当点P、Q分别在上下顶点时，θ取最大值，四边形PF₁QF₂面积最大，
令椭圆的实半轴为a=5，虚半轴为b=4，焦半径为c
此时，

PF1

•

PF2

=|

PF1

|2cosα=a²

1-( 24 25 )2

=25×

7

25

=7．
故答案为7．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，同时还考查与椭圆相关的知识．