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【题目】已知以点为圆心的圆过点,线段的垂直平分线交圆于点,且.

1)求直线的方程;

2)求圆的方程;

3)是否存在点在圆上,使得的面积为?若存在,请指出共有几个这样的点?说明理由,并求出这些点的坐标.

【答案】(1) (2);(3)存在,有两个点,当时,点坐标为;当时,点坐标为

【解析】

(1)由题意知直线垂直平分线段,由的坐标求得所在直线的斜率,可得所在直线的斜率,再由中点坐标公式求得中点坐标,代入直线点斜式方程即得答案;

(2)由题意知线段为圆的直径,可得.设圆P的方程为,把的坐标代入圆的方程,联立求得的值,即可求得圆的方程;

(3)由,当的面积为时,则点到直线的距离为,又因为圆心到直线的距离为,且,可知圆上共有两个点满足条件,通过求出的平行直线和圆联立即可求出点坐标.

(1)由题意知直线垂直平分线段

中点坐标,又

∴直线的方程为,即

(2)由题意知线段为圆的直径,

设圆P的方程为

∵圆经过点

解得.

∴圆的方程为.

(3),当的面积为时,点到直线的距离为,又因为圆心到直线的距离为,圆的半径为,且

圆上共有两个点,使的面积为18.

在与直线平行且距离直线的为的直线上,同时圆心到直线的距离为.直线与圆的交点即为所求点.

时,可求得直线

,所以此时点坐标为;

时,可求得直线

,所以此时点坐标为;

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