【题目】试求出所有的正整数组,使得.
【答案】见解析
【解析】
由题意设.①
下面分两种情况讨论.
(1)若,则.因此,.显然,.
若,则,故只能有;若,则是正整数,
故只可能有.
(2)若,由对称性不妨假设,即.考虑二次方程,②
其中,是方程②的一个根.
设方程的另一根为.由韦达定理有是,.所以,为正整数且.
下面证明:当时,.
事实上,
.
又,,则 .所以,,成立.
由于和是方程②的两个根,因此,对某个,
如果一组是方程①的解,
那么,也是方程①的解.
而,可因此,对方程①的任意一个解,
用来替换原来的,式①仍然成立.只要这里的,
这样的替换便可以继续下去.而每经过一次这样的替换,的值将会减少.
因此,经过有限步之后,必有.
下面讨论时,方程①的解.
(i)若,则方程①即为.而,
故仅有解.此时,.
(ii)若,则有.③
因为是正整数,所以, 是正整数.
故.如果,则.解得.
于是,,,即,此时,.
如果,代入式③可得,即与矛盾.因此,只能取.
当时,方程①的任意一个解经过有限次替换以后必将变为.
反过来,对作上述替换的逆变换,
将生成方程的全部解.这些解可表示为,
在这里,数列满足,以及递推关系.
同理,当时,方程的全部解为,
在这里,数列满足,以及递推关系.
当时,由对称性可知,方程的全部解为以及.
因此,全部解为.其中,数列满足,;数列满足,.
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【题目】有一种特别列车,沿途共有个车站(包括起点与终点),因安全需要,规定在同一车站上车的旅客不能在同一车站下车。为了保证上车的旅客都有座位(每位旅客一个座位),则列车至少要安排()个座位。
A. B. 100 C. 110 D. 120
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【题目】共享单车的投放,方便了市民短途出行,被誉为中国“新四大发明”之一.某市为研究单车用户与年龄的相关程度,随机调查了100位成人市民,统计数据如下:
不小于40岁 | 小于40岁 | 合计 | |
单车用户 | 12 | y | m |
非单车用户 | x | 32 | 70 |
合计 | n | 50 | 100 |
(1)求出列联表中字母x、y、m、n的值;
(2)①从此样本中,对单车用户按年龄采取分层抽样的方法抽出5人进行深入调研,其中不小于40岁的人应抽多少人?
②从独立性检验角度分析,能否有以上的把握认为该市成人市民是否为单车用户与年龄是否小于40岁有关.
下面临界值表供参考:
P() | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.25 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
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【题目】高考改革后,学生除了语数外三门必选外,可在A类科目:物理、化学、生物和B类科目:政治、地理、历史共6个科目中任选3门.
(1)若小明同学已经确定选了物理,现在他还要从剩余的5科中再选2科,则他在历史与地理两科中至少选一科的概率?
(2)求小明同学选A类科目数X的分布列、数学期望和方差.
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【题目】某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关,得到的统计数据如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百台) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量(百件)与月份之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测6月份该商场空调的销售量;
(2)若该商场的营销部对空调进行新一轮促销,对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查.假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大,经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
有购买意愿对应的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
频数 | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查,求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率.
参考公式与数据:线性回归方程,其中,.
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【题目】现有10件产品中有3件次品,7件正品,从中抽取5件用数字表示
(1)没有次品的抽法有多少种?
(2)有2件次品的抽法有多少种?
(3)至少1件次品的抽法有多少种?
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