Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E在棱CC₁的延长线上，且CC1=C1E=BC=

1

2

AB=1．
（I）求证：D₁E∥平面ACB₁；
（II）求证平面D₁B₁E⊥平面DCB₁；
（III）求平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）连接DC₁，欲证D₁E∥平面ACB₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证D₁E与平面平面ACB₁内一直线平行，而D₁E∥AB₁，AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，满足定理条件；
（II）连接AD₁、DA₁，欲证平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD，根据面面垂直的判定定理可知在平面AD₁EB₁内一直线与平面A₁B₁CD垂直，而根据题意可得AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，满足定理条件．
（Ⅲ）以D为坐标原点，建立坐标系，分别求出面ACB₁，面D₁B₁E的一个法向量，利用两法向量夹角间接计算平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的余弦值．

解答：解：（I）证明：连接DC₁，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且CC₁=C₁E，
所以DD₁∥C₁E且DD₁=C₁E，DD₁EC₁是平行四边形，DC₁∥D₁E．
又因为AD∥B₁C₁且AD=B₁C₁，ADC₁B₁是平行四边形，DC₁∥AB₁，
所以D₁E∥AB₁．
因为AB₁?平面ACB₁，D₁E?平面ACB₁，
所以D₁E∥平面ACB₁．
（II）证明：连接AD₁、DA₁，则平面DCB₁即平面A₁B₁CD，由①D₁E∥AB₁，知平面D₁B₁E即平面AD₁EB₁．
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，CD⊥平面ADD₁A₁，
所以CD⊥AD₁．矩形ADD₁A₁中，AD=DD₁，
所以A₁D⊥AD₁，又A₁D∩CD=D，
所以AD₁⊥平面A₁B₁CD，AD₁?平面AD₁EB₁，
所以平面AD₁EB₁⊥平面A₁B₁CD．
（Ⅲ）以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则A （1，0，0）C （0，2，0）B₁ （1，2，1），

AC

=（-1，2，0）

AB1

=（0，2，1）
设面ACB₁的一个法向量是

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

AC • n1 =0 AB1 • n1 =0

∴

-x1+2y1=0 2y1+z=0

取z=-2，则

n1

=（2，1，-2），
D₁（0，0，1）E（0，2，2）

D1E

=（0，2，1），

B1

E=（-1，0，1）
设面D₁B₁E的一个法向量是

n，2

=（x₂，y₂，z₂）则

D1E • n，2 =0 B1 E• n，2 =0

∴

2y2+z=0 -x+z=0

取z=2，则

n，2

=（2，-1，2）
设平面ACB₁与平面D₁B₁E所成（锐）二面角的平面角是θ，则cosθ=|

n1 • n2

| n1 | ×  |n2|

|   =

1

9

点评：本小题主要考查空间线面关系、面面位置关系，二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．