Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b∈R，c∈R），若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且对称轴是x=-1，g（x）=

f(x)  (x＞0) -f(x) (x＜0)

（1）求g（2）+g（-2）的值：
（2）在（1）条件下求f（x）在区间[t，t+2]（t∈R）的最小值w．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）的最小值是f（-1）=0，f（0）=1且对称轴是x=-1，列出方程组求出a，b，c，从而得到f（x）的解析式，再代入到g（x）中求出g（x）的解析式，从而得到答案；
（2）根据对称轴为x=-1可能在区间[t，t+2]的左、中、右三种情况分别列出不等式，再根据二次函数的图象分别求出最值，从而得到f（x）的最小值w．

解答：解：（1）由题意得

f(-1)=0 f(0)=1 x=- b 2a =-1

，∴

a-b+c=0 c=1 b=2a

，∴

a=1 c=1 b=2

，
∴f（x）=（x+1）²，∴g(x)=

(x+1)2    (x＞0) -(x+1)2  (x＜0)

，
∴g（2）+g（-2）=8．
（2）当t+2≤-1时，即t≤-3时，
f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递减，∴f(x)min=f(t+2)=(t+3)2，
当t＜-1＜t+2时，即-3＜t＜-1时，
f（x）=（x+1）²在区间[t，-1]上单调递减，f（x）=（x+1）²在区间[-1，t+2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（-1）=0，
当t≥-1时，f（x）=（x+1）²在区间[t，t+2]上单调递增，
∴f(x)min=f(t)=(t+1)2，
综上所述，W=

(t+3)2，  t≤-3 0 ，          -3＜t＜-1 (t+1)2，    t≥-1

．

点评：本题考查了求二次函数的解析式以及最值问题．求解析式使用了待定系数法，求二次函数的最值问题运用了分类讨论的思想方法．属于中档题．