Question

已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l：mx-y+1-m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）设直线l与圆C交于A、B两点，若|AB|=

17

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）直线l解析式变形后得到直线l恒过（1，1）点，而（1，1）点在圆C内，即可确定出直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）由圆的半径及弦长．利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线的距离d，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．

解答：解：（1）∵直线l：y-1=m（x-1）过定点P（1，1），且|PC|=

(1-0)2+(1-1)2

=1＜

5

，即P点在圆C内，
∴直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）∵圆半径r=

5

，|AB|=

17

，
∴圆心（0，1）到l的距离d=

r2-( |AB| 2 )2

=

3

2

，即

|-m|

m2+1

=

3

2

，
解得：m=±

3

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．