Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
（1）证明MN∥平面PAB；
（2）求四面体N﹣BCM的体积．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：取BC中点E，连结EN，EM，

∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线，

∴NE∥PB，

又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，

∴BE= BC=AM=2，

∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，

∵MN平面NEM，∴MN∥平面PAB

（2）

解：

取AC中点F，连结NF，

∵NF是△PAC的中位线，

∴NF∥PA，NF= =2，

又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，

如图，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，

∵AM CG，∴四边形AGCM是平行四边形，

∴AC=MG=3，

又∵ME=3，EC=CG=2，

∴△MEG的高h= ，∴S△BCM= ，∴四面体N﹣BCM的体积VN﹣BCM= = .

【解析】（1）取BC中点E，连结EN，EM，得NE是△PBC的中位线，推导出四边形ABEM是平行四边形，由此能证明MN∥平面PAB．（2）取AC中点F，连结NF，NF是△PAC的中位线，推导出NF⊥面ABCD，延长BC至G，使得CG=AM，连结GM，则四边形AGCM是平行四边形，由此能求出四面体N﹣BCM的体积．；本题考查线面平行的证明，考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．