Question

已知函数f(x)=(

1+x

+

1-x

+2)(

1-x2

+1)．
（Ⅰ）设t=

1+x

+

1-x

，求t的取值范围；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）-m=0，x∈[0，1]，存在这样的m值，使得对每一个确定的m，方程都有唯一解，求所有满足条件的m．
（Ⅲ）证明：当0≤x≤1时，存在正数β，使得不等式

f(x)

1-x2 +1

-4≤-

xα

β

成立的最小正数α=2，并求此时的最小正数β．

Answer 1

分析：（Ⅰ）两边平方，借助于函数定义域x∈[-1，1]，求得t 的取值范围是[

2

 ， 2]；（Ⅱ）只需要求出函数x∈[0，1]的值域即可知m值的范围；（Ⅲ）将问题等价转化为

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

恒成立，∴β≥(

f(x)

2x2-α

)max=(

f(x)

2

)max=4，从而求出最小正数．

解答：解：（Ⅰ）函数定义域x∈[-1，1]，t2=2+2

1-x2

，∵t≥0，∴

2

≤t≤2，即t 的取值范围是[

2

 ， 2] （Ⅱ）f(x)=(

1+x

+

1-x

+2)(

1-x2

+1)，由（Ⅰ）f(x)=g(t)=

t3

2

+t2，t∈[

2

，2]，g（t） 在[

2

，2] 单调递增，所以f(x)∈[2+

2

，8]．设x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，则1-x₁²≠1-x₂²，即

1+x1

+

1- x   1

≠

1+x2

+

1- x   2

，即t₁≠t₂．故存在m，使得对每一个 m∈[2+

2

，8]，方程都有唯一解x₀∈[0，1]．
（Ⅲ）

f(x)

1-x2 +1

-4=

1+x

+

1-x

-2=

( 1+x + 1-x -2)( 1+x + 1-x +2)

( 1+x + 1-x +2)

=

2( 1-x2 -1)

( 1+x + 1-x +2)

=

-2x2

f(x)

≤-

x2

4

．以下证明，对0＜α0，不等式

f(x)

1-x2

-4 ≤-

xα

β

（0≤x≤1）不成立．反之，由

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

，亦即x^2-α ≥

f(x)

2β

成立，因为2-α＞0，x=0，0≥

f(0)

2β

，但f（0）=8，这是不可能的．这说明α=2 是满足条件的最小正数．这样，不等式

f(x)

1-x2 +1

-4 ≤-

xα

β

（x∈[0，1]） 恒成立，即

-2x2

f(x)

≤-

xα

β

恒成立，∴β≥(

f(x)

2x2-α

)max=(

f(x)

2

)max=4，最小正数β=4

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及分类讨论的思想，解题的关键是对于恒成立的理解，是一道综合题