Question

如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为，D为棱的中点。

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）要证明平面，主要是通过线面平行的判断定理，在平面内找一条直线与已知直线平行，通过三角形的中位线即可得到；
（Ⅱ）依题意底面是正三角形且,又可证明.即可得到所求的二面角的平面角为，从而通过解直角三角形即可得到二面角的大小.本题关键是通过了解线面的关系找出二面角的平面角.
试题解析：（Ⅰ）连接交于点O，连接OD，则OD为中边上的中位线，所以.又平面ABD，平面ABD，所以平面ABD.
（Ⅱ）因为为等边三角形，D为AC中点，所以，由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，所以平面平面.又平面ABC 平面=AC，BD平面ABC，所以BD平面，又AD平面，平面，所以ADBD, BD,故为二面角的平面角，由AC=2，知在中，.所以.故所求二面角的大小为.