Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC.
(1)若D是BC的中点，求证:AD⊥CC₁；
(2)过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证:截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由.

Answer 1

(1)证明略 (2)证明略(3)结论是肯定的

(1)证明: ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC
∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥侧面BB₁C₁C
∴AD⊥CC₁.
(2)证明: 延长B₁A₁与BM交于N，连结C₁N
∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁
∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁
∴C₁N⊥C₁B₁
∵底面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C
∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C
∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.
(3)解： 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 
过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C
∴ME⊥侧面BB₁C₁C，又∵AD⊥侧面BB₁C₁C. 
∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面
∵AM∥侧面BB₁C₁C，∴AM∥DE
∵CC₁⊥AM，∴DE∥CC₁
∵D是BC的中点，∴E是BC₁的中点
∴AM=DE=AA₁，∴AM=MA₁.