Question

三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c的图象如图所示，直线BD∥AC，且直线BD与函数图象切于点B，交于点D，直线AC与函数图象切于点C，交于点A．
（1）若函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），当x＜0时求的最大值；
（2）若函数在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调递减区间；
（3）设点A、B、C、D的横坐标分别为x_A，x_B，x_C，x_D求证    （x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接由函数f（x）为奇函数且过点（1，-3），得到a=c=0，b=-4，代入并整理，再结合基本不等式即可求出其最大值；
（2）先求出其导函数，根据函数在x=1处取得极值-2，得到；在代入其导函数，通过比较导数等于0的两个根的大小求出函数的单调递减区间；
（3）先设直线BD的方程为y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B），结合D点在直线上又在曲线上，得到x_D+2x_B+a=0；同理得到x_A+2x_C+a=0；进而求出（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），最后结合直线BD∥AC得到，结合上面所找的结论即可证得（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1．
解答：解：（1）由已知得a=c=0，b=-4，
当x＜0时当且仅当x=-2时取得最大值-4（3分）
（2）f′（x）=3x²+2ax+b，依题意有（5分）
从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=0=（3x+（2c+3））（x-1），
令f′（x）=0有x=1或
由于f（x）在x=1处取得极值，因此，得到c≠-3
①若，即c＜-3，
则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为；       （7分）
②若，即c＞-3，
则当时，f′（x）＜0，因此f（x）的单调递减区间为．（8分）
（3）证明：设直线BD的方程为y=f′（x_B）（x-x_B）+f（x_B）因为D点在直线上又在曲线上，
所以f（x_D）=f′（x_B）（x_D-x_B）+f（x_B）
即（x_D³+ax_D²+bx_D+c）-（x_B³+ax_B²+bx_B+c）=（3x_B²+2ax_B+b）（x_D-x_B）
得到：x_D²+x_Dx_B-2x_B²+ax_D-ax_B=0从而x_D+2x_B+a=0，①
同理有x_A+2x_C+a=0    ②，
由于AC平行于BD，因此f′（x_B）=f′（x_C），得到
进一步结合①②化简可以得到，从而x_A-x_B=x_C-x_D
又由①②得：（x_A-x_B）+（x_C-x_D）=（x_B-x_C），
因此（x_A-x_B）：（x_B-x_C）：（x_C-x_D）=1：2：1（14分）
点评：考查学生利用导数研究函数极值，研究函数单调性的能力，函数与方程的灵活运用能力．