Question

某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（1）求ξ的分布；
（2）求ξ的数学期望及方差；
（3）记“函数f（x）=x²-2ξx+lnx是单调增函数”为事件A，求事件A的概率．
（可能用到的数据：0.76²≈0.58，0.48²≈0.23，1.52²≈2.31，0.24²≈0.06）

Answer 1

分析：（1）客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3．相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

），由此能求出ξ的分布列；
（2）由（1）求出ξ的数学期望与方差；
（3）由于函数f（x）=x²-2ξx+lnx是单调增函数，故f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0恒成立，解得ξ≤

2

，进而得到事件A的概率．

解答：解：（1）∵ξ=1表示客人游览了1个景点或2个景点
∴P（ξ=1）=1-0.4×0.5×0.6-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.76…（2分）
∵ξ=3表示客人游览了0个景点或3个景点
∴P（ξ=3）=（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）+0.4×0.5×0.6=0.24…（5分）
故ξ的分布为：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

（2）E（ξ）=1×0.76+3×0.24=1.48…（8分）
D（ξ）=（1-1.48）²×0.76+（3-1.48）²×0.24=0.23×0.76+2.31×0.24=0.7292
…（11分）
（3）∵函数f（x）=x²-2ξx+lnx是单调增函数
∴f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0
∴ξ≤x+

1

2x

（x＞0）
∵x+

1

2x

≥

2

∴ξ≤

2

…（14分）
∴P(A)=P(ξ≤

2

)=P(ξ=1)=0.76…（16分）

点评：本题考查离散型随机变量的期望和方差以及导数有关的不等式恒成立问题，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．