如图,已知椭圆的离心率为
,以椭圆
的
左顶点为圆心作圆
,设圆
与椭圆
交于点
与点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆
的方程;
(3)设点是椭圆
上异于
、
的任意一点,且直线
、
分别与
轴交于点
、
,
为坐标原点,求证:
为定值.
(1);(2)
的最小值为
,此时圆
的方程为
;
(3)详见解析.
解析试题分析:(1)利用圆的方程的求出的值,然后根据离心率求出
的值,最后根据
、
、
的关系求出
,最后确定椭圆的方程;(2)先根据点
、
的对称性,设点
,将
表示为
的二次函数,结合
的取值范围,利用二次函数求出
的最小值,从而确定点
的坐标,从而确定圆的方程;(3)设点
,求出
、
的方程,从而求出点
、
的坐标,最后利用点
在椭圆上来证明
为定值.
(1)依题意,得,
,
,
,
故椭圆的方程为
;
(2)点与点
关于
轴对称,设
、
, 不妨设
,
由于点在椭圆
上,所以
, (*)
由已知,则
,
,
,
,
由于,故当
时,
取得最小值为
,
由(*)式,,故
,又点
在圆
上,代入圆的方程得到
,
故圆的方程为:
;
(3)设,则直线
的方程为:
,
令,得
, 同理:
,
故 (**)
又点与点
在椭圆上,故
,
,
代入(**)式,得:
所以为定值.
考点:1.椭圆的方程;2.平面向量的数量积;3.直线与椭圆的位置关系
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知为坐标原点,
=(
),
=(1,
),
.
(1)若的定义域为[-
,
],求y=
的单调递增区间;
(2)若的定义域为[
,
],值域为[2,5],求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知抛物线:
的焦点为
,若过点
且斜率为
的直线与抛物线相交于
两点,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线为抛物线
的切线,且
∥
,
为
上一点,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知向量a=,b=(
sinx,cos2x),x∈R,设函数f(x)=a·b.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在上的最大值和最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分14分)已知两个不共线的向量,它们的夹角为
,且
,
,
为正实数.
(1)若与
垂直,求
;
(2)若,求
的最小值及对应的
的值,并判断此时向量
与
是否垂直?
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