Question

(本小题满分14分)
已知函数f(x)=log2.
（1）判断并证明f(x)的奇偶性;
（2）若关于x的方程f(x)=log2(x-k)有实根，求实数k的取值范围;
（3）问：方程f(x)=x+1是否有实根？如果有，设为x0，请求出一个长度
为的区间(a,b)，使x0∈(a,b)；如果没有，请说明理由.
（注：区间(a,b)的长度为b-a）

Answer 1

（1）f(x)是奇函数
（2）(-∞,1)。
（3）区间(-,-)的中点g(-)>0(4')

解：（1）由得-1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(-1,1)；              (2')
因为f(-x)+f(x)=log2+log2=log2=log21=0，
所以f(-x)=-f(x)，即f(x)是奇函数。                                      (4')
（2）方程f(x)=log2(x-k)有实根，也就是方程=x-k即k=x-在(-1,1)内有解，所以实数k属于函数y=x-=x+1-在(-1,1)内的值域。                  (6')
令x+1=t，则t∈(0,2)，因为y=t-在(0,2)内单调递增，所以t-∈(-∞,1)。
故实数k的取值范围是(-∞,1)。                                           (8')
（3）设g(x)=f(x)-x-1=log2-x-1(-1<x<1)。
因为，且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增，所以log2<log223，即4log2<3，亦即log2<。于是g(-)=log2-<0。                ①     (10')
又∵g(-)=log2->1->0。                                   ②     (12')
由①②可知，g(-)·g(-)<0，所以函数g(x)在区间(-,-)内有零点x0。
即方程f(x)=x+1在(-,-)内有实根x0。                                  (13')
又该区间长度为，因此，所求的一个区间可以是(-,-)。(答案不唯一)      (14')
思路提示：用“二分法”逐步探求，先算区间(-1,1)的中点g(0)=-1<0(1')，由于g(x)在(-1,1)内单调递减，于是再算区间(-1,0)的中点g(-)=log23->0(2')，然后算区间(-,0)的中点 g(-)<0(3')，最后算区间(-,-)的中点g(-)>0(4')。