如图,在直三棱柱(侧棱和底面垂直的棱柱)中,
,
,
,且满足
.
(1)求证:平面侧面
;
(2)求二面角的平面角的余弦值。
(1)详见解析;(2)
解析试题分析:(1)可证得面
侧面
(2)此问采用空间向量法较好。先建系,写出个点坐标,再给出各向量的坐标,分别求面
和面
的法向量。先求得两法向量所成角的余弦值,但两法向量所成的角和二面角相等或互补,观察可知此二面角为顿角,所以余弦值为负值。
试题解析:(1)证明: ,
又 4分
(2)由(Ⅰ)知,以点为坐标原点,以
所在的直线分
别为轴、
轴、
轴,可建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
又由线段上分别有一点
,
满足,
所以E(1,2,0), F(0,1,1) 6分
面
的一个法向量
8分
此时面的一个法向量为
,则
。
设所求二面角平面角为,观察可知
为钝角,
则 。 12分
考点:1线面垂直、面面垂直;2空间向量法解立体几何。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,又AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:AE⊥平面A1BD.
(2)求二面角D-BA1-A的余弦值.
(3)求点B1到平面A1BD的距离.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1BC1B1的余弦值;
(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在直角梯形中,
,
,
,如图,把
沿
翻折,使得平面
平面
.
(1)求证:;
(2)若点为线段
中点,求点
到平面
的距离;
(3)在线段上是否存在点
,使得
与平面
所成角为
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,AB=AA1=.
(1)证明:A1C⊥平面BB1D1D;
(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
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