Question

12．（1）已知$z=\frac{1+2i}{3-4i}$，求|z|；
（2）已知2-3i是关于x的一元二次实系数方程x²+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．

Answer 1

分析 （1）利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案；
（2）把2-3i代入方程x²+px+q=0中，求解即可得答案．

解答 解：（1）由$z=\frac{1+2i}{3-4i}=\frac{（1+2i）（3+4i）}{（3-4i）（3+4i）}=\frac{-5+10i}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{2}{5}i$，
得$|z|=\sqrt{（-\frac{1}{5}）^{2}+（\frac{2}{5}）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$；
（2）把2-3i代入方程x²+px+q=0中，得到（-5+2p+q）+（12+3p）i=0．
即-5+2p+q=0且12+3p=0，解得p=-4，q=13．

点评 本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数的基本概念，是基础题．