Question

18．已知M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0}，求x∈M时，f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{8}{x}$）的最值．

Answer 1

分析 利用对数不等式求出log₂x的范围，利用换元法化简函数的表达式，利用二次函数的性质求解函数的最值．

解答 解：M={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0}，
可得log${\;}_{\frac{1}{2}}$²x-11log₂x+9≤0，
即log₂²x-11log₂x+9≤0，
解得log₂x∈[$\frac{11-\sqrt{85}}{2}$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$].$0＜\frac{11-\sqrt{85}}{2}＜1$，$\frac{11+\sqrt{85}}{2}＞2$
f（x）=（log₂$\frac{x}{2}$）•（log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{8}{x}$）=（log₂x-1）（log₂x-3），
函数f（x）的对称轴log₂x=2，
所以当log₂x=2时，f（x）取得最小值：-1；
当log₂x=$\frac{11+\sqrt{85}}{2}$时，f（x）取得最大值：（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-1$）（$\frac{11+\sqrt{85}}{2}-3$）=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$×$\frac{5+\sqrt{85}}{2}$=$\frac{65+7\sqrt{85}}{2}$．

点评 本题考查对数运算法则以及二次函数的简单性质的应用，考查函数的最值，考查计算能力．