Question

【题目】若函数 没有零点，则实数a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣2,e）
【解析】解：当x＜0时， ，

当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

所以当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）=﹣2﹣a，根据题意，﹣2﹣a＜0，a＞﹣2；

当x≥0时，f'（x）=ex﹣a，当a∈（﹣2，1]时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，

所以fmin（x）=f（0）=1＞0，满足题意；

当a＞1时，令f'（x）=0，得x=lna，

当x∈[0，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

所以当x=lna时，f（x）取得极大值f（lna）=a﹣alna，根据题意，a﹣alna＞0，

所以1﹣lna＞0，lna＜1，a＜e，

∴a∈（1，e），

综上所述，实数a的取值范围是（﹣2，e）．

故答案为：（﹣2，e）．

在分段函数上根据不同的解析式进行讨论，求导根据单调性，得出极值，可得a的取值范围.