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已知△ABC的顶点A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),其中0<α<π.
(Ⅰ)若|
AC
|
=|
BC
|
,求角α的值;
(Ⅱ)若△ABC的面积为S△ABC=
7
2
,求sinα-cosα的值
分析:(Ⅰ)利用向量模的坐标形式的公式列出方程求出角
(Ⅱ)利用直线方程的公式:两点式求出直线AB,利用点线距离公式求出三角形的高,利用三角形的面积公式表示出三角形的面积,列出方程,利用三角函数的诱导公式化简求出sinα-cosα的值
解答:解:(1)|
AC
|
=|
BC
|
,得:
(cosα-3)2+sin2α
=
cos2α +(sin α-3)2

即:sinα=cosα,
又∵0<α<π,
∴α=
π
4

(2)直线AB方程为:x+y-3=0.|AB|=3
2
,点C到直线AB的距离为:
d=
|cosα+sinα-3|
2
=
3-(cosα+sinα)
2

S△ABC=
1
2
|AB|d=
1
2
×3
2
×
3-(cosα+sinα)
2
=
7
2

sinα+cosα=
2
3

2sinαcosα=-
5
9

又∵0<α<π,
∴sinα>0,cosα<0;
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=
14
9

∴sinα-cosα=
14
3
点评:本题考查向量模的坐标形式的公式;直线方程及点线距离公式;三角形的面积公式及三角函数诱导公式.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在直角坐标系xoy中,已知△ABC的顶点A(-1,0)和C(1,0),顶点B在椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
上,则
sinA+sinC
sinB
的值是(  )
A、
3
2
B、
3
C、4
D、2

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知△ABC的顶点A(2,8),B(-4,0),C(6,0),
(1)求直线AB的斜率; 
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.

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已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足|AC|+|BC|=
54
|AB|
,求点C的轨迹方程,并说明它是什么曲线.

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已知△ABC的顶点A(1,3),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-3y+2=0,AC边上的高BH所在直线方程为2x+3y-9=0.求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线BC的方程.

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已知△ABC的顶点A(0,-4),B(0,4),且4(sinB-sinA)=3sinC,则顶点C的轨迹方程是
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)
y2
9
-
x2
7
=1
(y>3)

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