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    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    ，它们的夹角为θ，且|
    a
    |=3    ，|
    b
    |=1    ，若
    a
    +
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，则sin(θ+
    π
    6
    )    =
     
    ．
    分析：根据
    a
    +
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直算出
    a
    •
    b
    =
    5
    3
    ，利用向量的夹角公式可得cosθ=
    5
    9
    ，结合θ∈（0，π）利用同角三角函数的关系算出sinθ=
    		56
    9
    ，再由两角和的正弦公式加以计算，可得sin(θ+
    π
    6
    )    的值．
    解答：解：∵|
    a
    |=3    ，|
    b
    |=1    ，
    a
    +
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，
    ∴（
    a
    +
    b
    ）•（
    a
    -4
    b
    ）=0，即
    a
    2    -3
    a
    •
    b
    -4
    b
    2    =0，
    可得9-3
    a
    •
    b
    -4×1=0，解之得
    a
    •
    b
    =
    5
    3
    ．
    ∵
    a
    、
    b
    的夹角为θ，∴cosθ=
    a
    •
    b
    |a|
    •
    |b|
    =
    5
    9
    ，
    又∵θ∈（0，π），∴sinθ=
    		1-cos2θ
    =
    		56
    9
    ．
    因此，sin(θ+
    π
    6
    )    =sinθcos
    π
    6
    +cosθsin
    π
    6
    =
    		56
    9
    ×
    		3
    2
    +
    5
    9
    ×
    1
    2
    =
    2
    		42
    +5
    18
    ．
    故答案为：
    2
    		42
    +5
    18
    ．
    点评：本题以两角和的正弦公式为载体，着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、两个向量垂直的条件、向量的夹角公式与同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    满足
    a
    =(1，
    		3
    )，
    b
    =(cosθ，sinθ)(θ∈R)    ，
    （1）若2
    a
    -
    b
    与
    a
    -7
    b
    垂直，求向量
    a
    与
    b
    的夹角；
    （2）当θ∈[0，
    π
    2
    ]    时，若存在两个不同的θ使得|
    a
    +
    		3
    b
    |=|m
    a
    |    成立，求正数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    ，它们的夹角为θ，且|
    a
    |=3    ，|
    b
    |=1    ，x为正实数．
    （1）若
    a
    +2
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，求tanθ；
    （2）若θ=
    π
    6
    ，求|x
    a
    -
    b
    |    的最小值及对应的x的值，并判断此时向量
    a
    与x
    a
    -
    b
    是否垂直？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知两个不共线的向量
    a
    ，
    b
    的夹角为θ，且|
    a
    |=3，|
    b
    |=1，x为正实数．
    （1）若
    a
    +2
    b
    与
    a
    -4
    b
    垂直，求tanθ；
    （2）若θ=
    π
    6
    ，求|x
    a
    -
    b
    |的最小值及对应的x的值，并指出此时向量
    a
    与x
    a
    -
    b
    的位置关系；
    （3）若θ为锐角，对于正实数m，关于x的方程|x
    a
    -
    b
    |=|m
    a
    |有两个不同的正实数解，且x≠m，求m的取值范围．

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