Question

1．在四棱锥P-ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，直线PC与平面ABCD所成角为45°，AB=2．
（Ⅰ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅱ）若E为PC的中点，求证：平面ADE⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，故BC=$\sqrt{3}$，AC=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积V．
（Ⅱ）由AE⊥PC，AE⊥CD，然后证明AE⊥平面PCD，由此能证明平面ADE⊥平面PCD．

解答 解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB=1，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3}$，AC=2…（2分）
在Rt△ACD中，AC=2，∠CAD=60°，CD=2$\sqrt{3}$…（4分）
∵S四边形ABCD=$\frac{1}{2}$AB•BC+$\frac{1}{2}$AC•CD=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$，
则V=$\frac{1}{3}$×$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$×2=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$…（6分）
证：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD…（7分）
又直线PC与平面ABCD所成角为45°，
∴AC=PA，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，AB=2．
∴AC=4，PA=4，E为PC的中点，
∴AE⊥PC
PA⊥平面ABCD，∠ACD=90°
∴CD⊥平面PAC，…（8分），AE?平面PAC，∴AE⊥CD
PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD…（10分），
∵AE?平面AEF，
∴平面ADE⊥平面PCD…（12分

点评 本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题．