Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：f（a·b）=af（b）+bf（a）， （Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若f（2）=2，u_n=（n∈N），求数列{u_n}的前n项的和S_n。

Answer 1

（Ⅰ）解：，
因为，
所以f（1）=0；
（Ⅱ）f（x）是奇函数；
证明：因为，所以f（-1）=0，
，
因此，f（x）为奇函数；
（Ⅲ）解：由，
猜测，下面用数学归纳法证明：
1°当n=1时，，公式成立；
2°假设当n=k时，成立，
那么当n=k+1时，，公式仍成立；
由上两步可知，对任意成立，
所以，
因为，
所以，，，
因此。