Question

如图，P－ABCD是正四棱锥，ABCD－A₁B₁C₁D₁是正方体，

其中AB＝2，PA＝．

(1)求证：PA⊥B₁D₁；

(2)求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角θ的大小；

(3)求B₁到平面PAD的距离．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系 　　(1)设E是BD的中点，P－ABCD是正四棱锥，∴ 　　又，∴∴ 　　∴ 　　∴即　　　　4分 　　(2)设平面PAD的法向量是， 　　∴取得，又平面的法向量是 　　∴∴　　　　8分 　　(3)∴到平面PAD的距离　　　　12分 解法二：(1)设AC与BD交点为O，连AO，PO；∵P－ABCD是正四棱锥，∴PO⊥面ABCD， ∴AO为PA在平面ABCD上的射影，又ABCD为正方形，∴AO⊥BD，由三垂线定理知 PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴………4分 (2)由题意知平面PAD与平面所成的锐二面角为二面角A－PD－B； ∵AO⊥面PBD，过O作OE垂直PD于E，连AE，则由三垂线定理知∠AEO为二面角A－PD－B的平面角；可以计算得， (3)设B1C1与BC的中点分别为M、N；则到平面PAD的距离为M到平面PAD的距离； 由VM－PAD＝VP－ADM求得；或者d为M点到直线PK的距离(K为D的中点)；