Question

【题目】已知函数 ． （Ⅰ）若g（x）=f（x）﹣a为奇函数，求a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（0，+∞）内的单调性，并用定义证明．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵ ∴g（x）=f（x）﹣a= ，
∵g（x）是奇函数，
∴g（﹣x）=﹣g（x），即 ，
解之得a=1．
（Ⅱ）设0＜x1＜x2 ， 则
= ．
∵0＜x1＜x2 ，
∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，从而 ，
即f（x1）＜f（x2）．
所以函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数
【解析】（I）根据f（x）表达式，得g（x）= ，再根据奇函数的定义采用比较系数法即可求出实数a的值．（II）设0＜x1＜x2 ， 将f（x1）与f（x2）作差、因式分解，得f（x1）＜f（x2），结合函数奇偶性的定义得到函数f（x）在（0，+∞）内是单调增函数．
【考点精析】通过灵活运用奇偶性与单调性的综合，掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性即可以解答此题．