Question

（理）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若对所有的x≥0，均有f（x）≥ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求导，得到f'（x），分别令f'（x）＞0，f'（x）＜0得到递增和递减区间．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，注意到g（0）=0，则“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”等价于“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立”
通过求导研究函数g（x）的单调性和极值，从而画出函数图象，结合着g（0）=0，得到a的范围．

解答：解：（1）由f'（x）=ln（x+1）+1≥0得x≥

1

e

-1，∴f（x）的增区间为[

1

e

-1，+∞)，减区间为(-1，

1

e

-1]．
（2）令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax．“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”?“g（x）≥g（0）在x≥0时恒成立．”g'（x）=ln（x+1）+1-a=0?x=e^a-1-1．
当x∈（-1，e^a-1-1）时，g'（x）＜0，g（x）为减函数．
当x∈（e^a-1-1，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）为增函数．
“g（x）≥0在x≥0时恒成立”?“e^a-1-1≤0”，即e^a-1≤e⁰，即a-1≤0，即a≤1．
故a的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题的第一小问是常规题，即利用导数研究函数的单调性，极值和最值．第二小问的转化，令g（x）=（x+1）ln（x+1）-ax，注意到g（0）=0，则“不等式f（x）≥ax在x≥0时恒成立”等价于“g（x）≥0在x≥0时恒成立”比较巧妙，避免了繁杂的分类讨论，使得问题更快地解决．