Question

12．已知△A₁B₁C₁的三内角余弦值分别等于△A₂B₂C₂三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为钝角．

Answer 1

分析 由题意可知cosA₁=sinA₂，cosB₁=sinB₂＞0，cosC₁=sinC₂，从而A₁，B₁，C₁均为锐角，从而得到△A₂B₂C₂不可能是直角三角形．假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，推导出π=$\frac{π}{2}$，不成立，从而△A₂B₂C₂是钝角三角形，由此能求出两个三角形六个内角中的最大值为钝角．

解答 解：∵△A₁B₁C₁的三内角余弦值分别等于△A₂B₂C₂三内角的正弦值，
∴由题意可知cosA₁=sinA₂，cosB₁=sinB₂＞0，cosC₁=sinC₂，
∴A₁，B₁，C₁均为锐角，
∴△A₁B₁C₁为锐角三角形，
∵A₁，B₁，C₁∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosA₁，cosB₁，cosC₁∈（0，1）
∴sinA₂，sinB₂，sinC₂∈（0，1）
∴A₂，B₂，C₂≠$\frac{π}{2}$，
∴△A₂B₂C₂不可能是直角三角形．
假设△A₂B₂C₂是锐角三角形，
则cosA₁=sinA₂=cos（$\frac{π}{2}-$A₂），cosB₁=sinB₂=cos（$\frac{π}{2}$-B₂），cosC₁=sinC₂=cos（$\frac{π}{2}$-C₂），
∵A₂，B₂，C₂均为锐角，∴$\frac{π}{2}$-A₂，$\frac{π}{2}$-B₂，$\frac{π}{2}$-C₂也为锐角，
又∵A₁，B₁，C₁均为锐角，∴A₁=$\frac{π}{2}$-A₂，B₁=$\frac{π}{2}$-B₂，C₁=$\frac{π}{2}$-C₂
三式相加得π=$\frac{π}{2}$，不成立
∴假设不成立，△A₂B₂C₂不是锐角三角形
综上，△A₂B₂C₂是钝角三角形．
∴两个三角形六个内角中的最大值为钝角．
故答案为：钝角．

点评 本题考查两个三角形六个内角中的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．