Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（1，），且焦距为2．

（1）求椭圆C方程；

（2）椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△F2AB面积S的最大值并求出相应直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），

【解析】

（1）将点代入椭圆方程得，又焦距为，故得，进而根据得的值；

（2）设直线l的方程为x=my+，借助韦达定理，用m表示出三角形△F2AB面积，利用基本不等式求出最大值，进而得出直线方程。

解：（1）由已知可得，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆C方程为+y2=1，

（2）由题中左、右焦点易知F1（-，0），F2（-，0），

若直线l的倾斜角为0，显然F，A，B三点不构成三角形，

故直线l的倾斜角不为0，可设直线l的方程为x=my+，

由，

消x可得（m2+4）y2+2my-1=0．

设A（x1，y1）、B（x2，y2），

则y1+y2= -，y1y2= -．

∴|y1-y2|=═=．

∴△F2AB的面积S=|F1F2||y1-y2|=4=4

=4≤4=2．

当且仅当m2+1=3，即m=±时，等号成立，S取得最大值2，

此时直线l的方程为x+y-=0，或x-y-=0．