Question

已知函数f（x）=

1

x+1

，点O为坐标原点，点A_n（n，f（n））（n∈N^*）．若记直线OA_n的倾斜角为θ_n，则tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（　　）

• A、

  n

  n+1

• B、

  1

  n+1

• C、

  1

  n

• D、

  n-1

  n

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由题意可得，A_n（n，

1

n+1

），则直线OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，用裂项法对tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n进行求和，可得结果．

解答： 解：由题意可得，A_n（n，

1

n+1

），
∴直线OA_n的斜率tanθ_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴tanθ₁+tanθ₂+…+tanθ_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故选A

点评：本题主要考查直线的斜率公式的应用，用裂项法进行数列求和，属于中档题．