Question

【题目】已知函数.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； (Ⅱ).

【解析】

（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.

(Ⅰ) ,

(1)若，则，函数在上单调递增；

(2)若，由得；由得

函数在上单调递增；在上单调递减.

(Ⅱ)由题设，对任意的恒成立

即对任意的恒成立

即对任意的恒成立 ,

由(Ⅰ)可知，

若，则，不满足恒成立,

若，由(Ⅰ)可知，函数在上单调递增；在上单调递减.

，又恒成立

，即,

设，则

函数在上单调递增，且，

，解得

的取值范围为 .