Question

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB+bcosA=$\frac{{\sqrt{3}c}}{2sinC}$，c=2，角C是锐角，则a+b+c的取值范围为（4，6]．

Answer 1

分析 利用正弦定理求出C，法一：求出三角形的外接圆的半径，然后利用两角和以及正弦定理求出a+b+c的取值范围．
法二：利用余弦定理化简求解即可．

解答 解：由$acosB+bcosA=\frac{{\sqrt{3}c}}{2sinC}$，得$sinAcosB+sinBcosA=\frac{{\sqrt{3}sinC}}{2sinC}$，
即$sin（A+B）=sinC=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，因为角C是锐角，所以$C=\frac{π}{3}$．
（接上）法一：所以$A+B=\frac{2π}{3}$，$2R=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
所以$a+b+c=2R（sinA+sinB+sinC）=\frac{{4\sqrt{3}}}{3}（sinA+sin（\frac{2π}{3}-A）+sin\frac{π}{3}）=4cos（A-\frac{π}{3}）+2$
又因为 $0＜A＜\frac{2π}{3}$，所以 $-\frac{π}{3}＜A-\frac{π}{3}＜\frac{π}{3}$，所以 $\frac{1}{2}＜cos（A-\frac{π}{3}）≤1$
所以 $4＜4cos（A-\frac{π}{3}）+2≤6$，所以 4＜a+b+c≤6．
法二：由余弦定理得${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}={（a+b）^2}-3ab≥{（a+b）^2}-\frac{{3{{（a+b）}^2}}}{4}=\frac{{{{（a+b）}^2}}}{4}$
当且仅当a=b时等号成立．由（a+b）²≤16，得a+b≤4，
又 a+b＞c，且c=2，所以4＜a+b+c≤6．
故答案为：（4，6]．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查三角形的解法．