Question

7．已知f（x）=x|x-a|-2，当x∈（0，2]时恒有f（x）＜0，则实数a的取值范围是1＜a＜3．

Answer 1

分析 整理不等式得x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$恒成立，构造函数令h（x）=x-$\frac{2}{x}$，g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（0，2]，把恒成立问题转换为最值问题，利用导数判断单调性，求出函数最值，得出a的范围．

解答 解：∵f（x）＜0，
∴x|x-a|＜2，
∴x-$\frac{2}{x}$＜a＜x+$\frac{2}{x}$恒成立，
令h（x）=x-$\frac{2}{x}$，g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（0，2]，
∵h'（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，h（x）递增，
∴h（x）≥h（2）=1，
g'（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，g（x）递减，
g（x）≤g（2）=3，
∴a的取值范围是1＜a＜3．

点评 考查了绝对值不等，恒成立问题转换为最值问题，难点是构造函数，求函数的最值．