Question

已知抛物线C₁：x²=y，圆C₂：x²+（y-4）²=1的圆心为点M
（Ⅰ）求点M到抛物线C₁的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由题意抛物线C₁：x²=y，可以知道其准线方程为y=-

1

4

，有圆C₂：x²+（y-4）²=1的方程可以知道圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；
（II）由于已知点P是抛物线C₁上一点（异于原点），所以可以设出点P的坐标，利用过点P作圆C₂的两条切线，交抛物线C₁于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆C₂的切线方程，利用交与抛物线C₂两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解．

解答：解：（I）由题意画出简图为：
由于抛物线C₁：x²=y准线方程为：y=-

1

4

，圆C₂：x²+（y-4）²=1的圆心M（0，4），
利用点到直线的距离公式可以得到距离d=4-(-

1

4

)=

17

4

．
（II）设点P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²）；
由题意得：x₀≠0，x₂≠±1，x₁≠x₂，
设过点P的圆c₂的切线方程为：y-x₀²=k（x-x₀）即y=kx-kx₀+x₀²①
则

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0
设PA，PB的斜率为k₁，k₂（k₁≠k₂），则k₁，k₂应该为上述方程的两个根，
∴k1+k2=

2x0 (x02-4)

x02-1

，k1•k2=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0 则x₁，x₂应为此方程的两个根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x0，kMP=

x02-4

x0

 
由于MP⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1?x02 =

23

5

 故P(±  

23 5

 ，

23

5

)∴直线l的方程为：y=±

3 115

115

x+4．

点评：此题重点考查了抛物线即圆的标准方程，还考查了相应的曲线性质即设出直线方程，利用根与系数的思想整体代换，进而解出点的坐标，理应直线与圆相切得到要求的直线方程．