Question

设

a

，

b

为不共线的两个向量，且

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，

a

-

b

与

a

垂直，则

a

与

b

的夹角的余弦值为

10

5

．

Answer 1

分析：设

a

与

b

的夹角为θ，由题意可得2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0  ①

a

2-

a

•

b

=0   ②联立可解得|

b

|=

10

2

|

a

|，代入②式由向量的运算可得cosθ

解答：解：设

a

与

b

的夹角为θ，
∵

a

+2

b

与2

a

-

b

垂直，

a

-

b

与

a

垂直，
∴（

a

+2

b

）•（2

a

-

b

）=2

a

2+3

a

•

b

-2

b

2=0  ①
（

a

-

b

）•

a

=

a

2-

a

•

b

=0   ②
联立①②可得

b

2=

5

2

a

2，|

b

|=

10

2

|

a

|，
代入②可得|

a

|2-|

a

|•|

b

|cosθ=|

a

|2-

10

2

|

a

|2cosθ=0，
解之可得cosθ=

10

5

故答案为：

10

5

点评：本题考查数量积与向量的夹角的关系，涉及向量的垂直关系，属中档题．