Question

已知长为m（m＞0）的线段P₁P₂两端点上在y²=4x上移动．
（1）求P₁P₂中点M的轨迹方程；
（2）求M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）设P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中点为M（x，y），利用x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中点的轨迹方程．
（2）通过中点轨迹方程，m≥4，m＜4，求出M点到y轴距离的最小值及对应点M的坐标．

解答：解：（1）设P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中点为M（x，y），则
x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
这就是P₁P₂中点的轨迹方程．
（2）由④：x=

1

4

(y2+

m2

y2+4

)=

1

4

[(y2+4)+

m2

y2+4

]-1．
∵y²+4∈[4，+∞）
当m≥4时，(y2+4)+

m2

y2+4

≥2m，当仅当y2+4=m，即y=±

m-4

时，
取“=”号．此时：xmin=

m-2

2

．M点的坐标为(

m-2

2

，±

m-4

)．
当m＜4时，由x-

m2

16

=

1

4

(y2+

m2

y2+4

-

m2

4

)=

y2(4y2+16-m2)

16(y2+4)

∵0＜m＜4∴y2+16-m2＞0，当仅当y=0时，x-

m2

16

=0
此时，xmin=

m2

16

，对应M点(

m2

16

，0)
∴当m≥4时，M到y轴距离最小值为

m-2

2

，M点坐标为(

m-2

2

，±

m-4

)．
当0＜m＜4时，M到y轴距离最小值为

m2

16

，M点坐标为(

m2

16

，0)

点评：本题是中档题，考查曲线的轨迹方程的求法，考查计算能力，转化思想，函数最值的求法．