Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a≥2b＞0)．
（1）求椭圆C的离心率的取值范围；
（2）若椭圆C与椭圆2x²+5y²=50有相同的焦点，且过点M（4，1），求椭圆C的标准方程．

Answer 1

分析：（1）利用离心率公式，结合a≥2b及0＜e＜1，可确定椭圆C的离心率的取值范围；
（2）由2x²+5y²=50确定其焦点，结合点M（4，1）在椭圆C上，即可求椭圆C的方程、

解答：解：（1）离心率e=

c2 a2

=

a2-b2 a2

=

1- b2 a2

…（1分）
∵a≥2b，∴

b

a

≤

1

2

，
∴e=

1- b2 a2

≥

1- 1 4

=

3

2

，…（3分）
又0＜e＜1，
∴e∈[

3

2

，1)…（4分）
（2）由2x²+5y²=50得

x2

25

+

y2

10

=1，其焦点为(±

15

，0)…（5分）
点M（4，1）在椭圆C上，
∴

16

a2

+

1

b2

=1①…（6分）
又a²-b²=15，即a²=b²+15②…（7分）
代入①得b⁴-2b²-15=0，解得b²=5或b²=-3（舍去）  …（9分）
∴a²=20，
故所求椭圆C的方程为

x2

20

+

y2

5

=1．…（10分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，熟练掌握椭圆几何量之间的关系是关键．