Question

已知椭圆上的任意一点到它的两个焦点F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）的距离之和为，且其焦距为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线x-y+m=0与椭圆C交于不同的两点A，B．问是否存在以A，B为直径的圆过椭圆的右焦点F₂．若存在，求出m的值；不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意可知
又b²=a²-c²，解得------------------（2分）
则椭圆方程为．---------------------（4分）
（Ⅱ）联立方程消去y整理得：3x²+4mx+2m²-2=0（6分）
则△=16m²-12（2m²-2）=8（-m²+3）＞0
解得①--------------------（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，，
又F₂（1，0），∴，
若存在，则，即：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂=0②
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，∴
代入②有
∴，
解得或------------------（11分）
检验都满足①，∴------------------（12分）
分析：（Ⅰ）利用椭圆上的任意一点到它的两个焦点的距离之和为，且其焦距为2，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，及向量知识，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．