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如图甲所示,点E为矩形ABCD边CD的中点,AB=2,AD=
2
,将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,使得D1-AE-B为直二面角,连接BD1
CD1--得到如图乙所示的几何体.
(1)证明:AE⊥BD1
(2)求二面角D1-BC-A的余弦值.
考点:二面角的平面角及求法
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:(1)过点D1作D1O⊥AE,交AE于点O,连结BO,由已知得D1O⊥平面ABCE,AD1=
2
,D1E=1,AE=BE=
3
,D1O=
2
×1
3
=
6
3
,AO=
2-
2
3
=
2
3
3
,EO=
1-
2
3
=
3
3
,BO=
2
6
3
,从而得到AO⊥BO,进而得到AE⊥平面BOD1,由此能证明AE⊥BD1
(2)以O为原点,OB为x轴,OE为y轴,OD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角D1-BC-A的余弦值.
解答: (1)证明:过点D1作D1O⊥AE,交AE于点O,连结BO,
∵点E为矩形ABCD边CD的中点,AB=2,AD=
2

将△ADE沿AE折起到△AD1E的位置,
使得D1-AE-B为直二面角,
∴D1O⊥平面ABCE,AD1=
2
,D1E=1,AE=BE=
3

D1O=
2
×1
3
=
6
3
,AO=
2-
2
3
=
2
3
3

EO=
1-
2
3
=
3
3

cos∠BAO=
AB2+AE2-BE2
2AB•AE
=
4+3-3
2×2×
3
=
1
3

BO=
AB2+AO2-2AB•AO•cos∠BAO

=
4+
4
3
-2×2×
2
3
3
×
1
3
=
2
6
3

∴AO2+BO2=AB2,∴AO⊥BO,
∴∠BOD1是直二面角D1-AE-B的平面角,
∴∠BOD1=90°,
∵BO⊥AE,D1O⊥AE,BO∩OD1=O,
∴AE⊥平面BOD1,∵BD1?平面BOD1
∴AE⊥BD1
(2)解:以O为原点,OB为x轴,OE为y轴,OD1为z轴,
建立空间直角坐标系,
D1(0,0,
6
3
),B(
2
6
3
,0,0),C(
6
3
2
3
3
,0),
D1B
=(
2
6
3
,0,-
6
3
),
D1C
=(
6
3
2
3
3
,-
6
3
),
设平面D1BC的法向量
n
=(x,y,z),
n
D1B
=
2
6
3
x-
6
3
z=0
n
D1C
=
6
3
x+
2
3
3
y-
6
3
z=0

取x=1,得
n
=(1,
2
2
,2),
又平面ABC的法向量
m
=(0,0,1),
设二面角D1-BC-A的平面角为θ,
cosθ=|cos<
m
n
>|=|
2
1+
1
2
+4
|=
2
22
11

∴二面角D1-BC-A的余弦值为
2
22
11
点评:本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
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6
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10
i=1
xi=80
10
i=1
yi
=20,
10
i=1
xiyi
=184,
10
i=1
x
2
i
=720.
1)求家庭的月储蓄y关于月收入x的线性回归方程
?
y
=
?
b
x+
?
a

2)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
?
b
=
n
i=1
xiyi-n
.
x
.
y
n
i=1
x
2
i
-n
.
x
2
?
a
=
.
y
-
?
b
.
x

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