Question

（2013•广元二模）已知函数f(x)=

1

3

x3-x2+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2．
（1）求实数a，b的值；
（2）设g(x)=f(x)+

m

x-1

是[2，+∞）上的增函数．
①求实数m的最大值；
②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2，建立方程组，即可求实数a，b的值；
（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；
②由①得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，证明图象关于点Q（1，

1

3

）成中心对称即可．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=x²-2x+a
∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2，∴

f′(0)=3 f(0)=-2

，∴

a=3 b=-2

．
（2）①由g(x)=f(x)+

m

x-1

=

1

3

x3-x2+3x-2+

m

x-1

，得g′（x）=x2-2x+3-

m

(x-1)2

．
∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
即x2-2x+3-

m

(x-1)2

≥0在[2，+∞）上恒成立．
设（x-1）²=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立
当m≤0时，不等式t+2-

m

t

≥0在[1，+∞）上恒成立．
当m＞0时，设y=t+2-

m

t

，t∈[1，+∞）
因为y′=1+

m

t2

＞0，所以函数y=t+2-

m

t

在[1，+∞）上单调递增，因此y_min=3-m．
∴y_min≥0，∴3-m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．
综上，m的最大值为3．
②由①得g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，其图象关于点Q（1，

1

3

）成中心对称．
证明如下：∵g（x）=

1

3

x3-x2+3x-2+

3

x-1

，
∴g（2-x）=

1

3

(2-x)3-(2-x)2+3(2-x)-2+

3

2-x-1

=-

1

3

x3+x2-3x+

8

3

+

3

1-x

因此，g（x）+g（2-x）=

2

3

．
∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．
∴存在点Q（1，

1

3

），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．