Question

6．已知函数$f（x）=x+\frac{m}{x}（m∈R）$，且该函数的图象过点（1，5）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据条件求出m的值，结合函数奇偶性的定义进行证明即可，
（Ⅱ）根据函数单调性的定义进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）图象过点（1，5），即1+$\frac{m}{1}$=5，解得m=4．（1分）
所以$f（x）=x+\frac{4}{x}$．（2分）
因为f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于坐标原点对称，
又$f（-x）=-x+\frac{4}{-x}=-（{x+\frac{4}{x}}）=-f（x）$，（3分）
所以函数f（x）是奇函数．（4分）
（II）函数f（x）在区间（0，2）上是减函数．（5分）
证明：设x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{{x_1}+\frac{4}{x_1}}）-（{{x_2}+\frac{4}{x_2}}）=（{x_1}-{x_2}）+（{\frac{4}{x_1}-\frac{4}{x_2}}）$（6分）
=$（{x_1}-{x_2}）-\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（{1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}}）$（8分）
因为x₁，x₂∈（0，2），则x₁•x₂∈（0，4），
所以$\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}＞1，1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}＜0$．（10分）
又因为x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，
所以$（{x_1}-{x_2}）（{1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}}）＞0$，即f（x₁）-f（x₂）＞0．（11分）
所以f（x）在区间（0，2）上是减函数．（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．