Question

如图，边长为4的正方形ABCD中
（1）点E，F分别是AB，BC的中点，将△AED，△CFD分别沿DE，DF折A起，使A，C两点重合于点A'，求证：面A'DF⊥面A'EF．
（2）当BE=BF=

1

4

BC时，求三棱锥A'-EFD的高．

Answer 1

分析：（1）由折叠前四边形ABCD为正方形，可得折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，结合线面垂直的判定定理可得A′D⊥平面A′EF，进而由面面垂直的判定定理，得到答案．
（2）当BE=BF=

1

4

BC时，可先求出三棱锥D-A′EF的体积，并计算出三角形EFD的面积，进而利用等积法求出三棱锥A′-DEF的高．

解答：证明：（1）由四边形ABCD为正方形
故折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
又∵A'E∩A'F=A，A'E，A'F?平面A'EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
又∵A′D?平面A′DF，
∴平面A′DF⊥平面A′EF
解：（2）由四边形ABCD为边长为4的正方形
故折叠后A′D=4，A′E=A′F=3，EF=

2

则cos∠EA′F=

9+9-2

2×3×3

=

8

9

则sin∠EA′F=

17

9

故△EA′F的面积S_△EA′F=

1

2

•A′E•A′F•sin∠EA′F=

17

2

由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱锥D-A′EF的体积V=

1

3

×

17

2

×4=

2 17

3

又由三角形EFD的面积S=4×4-2×

1

2

×3×4-

1

2

×1×1=

7

2

且三棱锥D-A′EF的体积等于三棱锥A′-DEF的体积
故三棱锥A′-DEF的高h满足

1

3

×

7

2

×h=

2 17

3

解得h=

4 17

7

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，点，线，面的距离计算，（1）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（2）的关键是等积法的熟练应用．