Question

【题目】如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M、N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：
①四边形MENF为平行四边形；
②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；
③若四棱锥A﹣MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）为常函数；
④若多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x），x∈（ ，1），则h（x）为单调函数；
其中假命题为 （ ）

A.①
B.②
C.③
D.④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：①∵平面ADD′A′∥平面BCC′B′，∴EN∥MF，
同理：FN∥EM，
∴四边形EMFN为平行四边形，故正确；
②MENF的面积s=f（x）= （EF×MN），
当M为BB′的中点时，即x= 时，MN最短，此时面积最小．故正确；
③连结AF，AM，AN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，

它们以AEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥．
因为三角形AEF的面积是个常数．
M，N到平面AEF的距离和是个常数，
所以四棱锥C'﹣MENF的体积V为常数函数，故正确．
④多面体ABCD﹣MENF的体积V=h（x）= VABCD﹣A′B′C′D′= 为常数函数，故错误；
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．