已知椭圆、抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点
,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录如下:
、
、
、
.
(1)经判断点,
在抛物线
上,试求出
的标准方程;
(2)求抛物线的焦点
的坐标并求出椭圆
的离心率;
(3)过的焦点
直线与椭圆
交不同两点
且满足
,试求出直线的方程.
(1);(2)
;(3)
或
.
解析试题分析:(1)先设抛物线,然后将
或
代入可得
,从而确定了
的方程,也进一步确定
、
不在
上,只能在
上;设
:
,把点
、
代入得
,求解即可确定
的方程;(2)由(1)中所求得的方程不难得到
的焦点
及椭圆
的离心率
;(3)先假设所求直线的方程
(或
,不过此时要先验证直线斜率不存在的情况),然后联立直线与椭圆的方程,消去消去
,得
,得到
,再得到
,要使
,只须
,从中求解即可得到
,从而可确定直线的方程.
试题解析:(1)设抛物线,则有
,而
、
在抛物线上 2分
将坐标代入曲线方程,得
3分
设:
,把点
、
代入得
解得
∴方程为
6分
(2)显然,,所以抛物线焦点坐标为
由(1)知,,
所以椭圆的离心率为 8分
(3)法一:直线过抛物线焦点,设直线的方程为
,两交点坐标为
,
由消去
,得
10分
∴①
② 12分
由,即
,得
将①②代入(*)式,得,解得
14分
所求的方程为:或
15分
法二:容易验证直线的斜率不存在时,不满足题意 9分
当直线斜率存在时,直线过抛物线焦点,设其方程为
,与
的交点坐标为
由
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的中心为原点
,左、右焦点分别为
、
,离心率为
,点
是直线
上任意一点,点
在双曲线
上,且满足
.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线
的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为
,过点
作动直线
与双曲线右支交于不同的两点
、
,在线段
上去异于点
、
的点
,满足
,证明点
恒在一条定直线上.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为
,且过点(2,
).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)M,N,P,Q是椭圆C上的四个不同的点,两条都不和x轴垂直的直线MN和PQ分别过点F1,F2,且这两条直线互相垂直,求证:为定值.
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抛物线的方程为
,过抛物线
上一点
(
)作斜率为
的两条直线分别交抛物线
于
两点(
三点互不相同),且满足
(
且
).
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)设直线上一点
,满足
,证明线段
的中点在
轴上;
(3)当=1时,若点
的坐标为
,求
为钝角时点
的纵坐标
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若点P是抛物线上的动点,点P在y轴上的射影是Q,点M,试判断|PM|+|PQ|是否存在最小值,若存在,求出其最小值,若不存在,请说明理由;
(3)过抛物线焦点F作互相垂直的两直线分别交抛物线于A,C,B,D,求四边形ABCD面积的最小值.
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已知双曲线的焦点与椭圆
的焦点重合,且该椭圆的长轴长为
,
是椭圆上的的动点.
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,求证:存在定点
,
使得为定值,并求出
的坐标;
(3)若在第一象限,且点
关于原点对称,点
在
轴的射影为
,连接
并延长交椭圆于
点,求证:以
为直径的圆经过点
.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,梯形ABCD的底边AB在y轴上,原点O为AB的中点,M为CD的中点.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过M作AB的垂线,垂足为N,若存在正常数,使
,且P点到A、B 的距离和为定值,求点P的轨迹E的方程;
(3)过的直线与轨迹E交于P、Q两点,求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若+
=8,求k的值.
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