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下列命题中正确的有
③④
③④
.(填上所有正确命题的序号)
①若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0取得极值;
②若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上恒成立;
③已知函数f(x)=
-x2+2x
,则∫01f(x)dx的值为
π
4

④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移为
4
3
(m)
分析:根据函数极值的定义,结合举反例得到①是错误的;根据积分的含义和有关公式,通过举出反例得到②是错误的;利用换元积分的方法,根据有关积分公式结合三角换元,计算得到③是正确的;根据积分的物理意义,质点的位移应该等于速度函数在某个时间段上的积分的值,利用积分公式可以通过计算,得到④是正确的.
解答:解:对于①,若f'(x0)=0,则函数y=f(x)在x=x0不一定取得极值,
比如函数f(x)=x3,它的导数为f'(x)=3x2,在x=0处满足f'(0)=0,
但函数f(x)是R上的增函数,在x=0处不能取得极值,故①错误;
对于②,若∫abf(x)dx>0,则f(x)>0在[a,b]上不一定恒成立,
比如f(x)=x,∫-12f(x)dx=(
1
2
x2 +c)
|
2
-1
=(
1
2
×22+c)-[
1
2
×(-1)2+c] =
3
2
,其中c为常数,
满足∫-12f(x)dx>0,但f(x)在[-1,2]上有正有负,故②错误;
对于③已知函数f(x)=
-x2+2x
=
1-(x-1)2

令x-1=cosα,则x=1+cosα,
其中
π
2
≤α≤π,x=0对应α=π,x=1对应α=
π
2

∴∫01f(x)dx=-
π
2
π
1-cos2α
dcosα=-
π
2
π
sinα(cosα)/

=
π
2
π
(sin2α) dα=
π
2
π
1-cos2α
2
dα=(
1
2
α-
1
4
sin2α+c)
|
π
0.5π

=(
π
2
-
1
4
sin2π+c)-(
π
4
-
1
4
sinπ+c) =
π
4
,其中c为常数,
所以∫01f(x)dx的值为
π
4
,故③正确;
对于④,一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,
从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移等于:
04v(t)dt=(
1
3
t3-2t2+3t+c)
|
0
4

=(
1
3
×43-2×42+3×4+c)-(
1
3
×03-2×02  +3×0+c)
=
4
3
,其中c为常数,
从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的位移为
4
3
(m),故④正确.
故答案为:③④
点评:本题借助于命题真假的判断与应用,着重考查了函数的导数与极值之间的关系、积分的有关公式和积分的物理意义等知识点,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中正确的有
 
.(填写所有正确命题的序号)
①在△ABC中,若A>B,则sinA>sinB;
②若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB;
③若数列{an}为等差数列,则数列an+2an+1仍为等差数列;
④若数列{an}为等比数列,则数列an+2an+1仍为等比数列;
⑤当x∈(0,
π
2
]
时,y=sinx+
2
sinx
的最小值是2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中正确的有
 
.(填上所有正确命题的序号)
①若f(x)可导且f'(x0)=0,则x0是f(x)的极值点;
②函数f(x)=xe-x,x∈[2,4]的最大值为2e-2
③已知函数f(x)=
-x2+2x
,则_1f(x)dx的值为
π
4

④一质点在直线上以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,从时刻t=0(s)到t=4(s)时质点运动的路程为
4
3
(m)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知m、n为两条不同直线,α、β为两个不重合的平面,给出下列命题中正确的有(  )
m⊥α
m⊥n
⇒n∥α

m⊥β
n⊥β
⇒m∥n

m⊥α
m⊥β
⇒α∥β

m?α
n?α
α∥β
⇒m∥n

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科目:高中数学 来源: 题型:

下列命题中正确的有
(3)(5)
(3)(5)
(填正确命题的序号).
(1)空集是任意集合的真子集;
(2)若f(1)+f(-1)=0,则函数f(x)是奇函数;
(3)函数y=(
1
2
)-x
 的反函数为y=log2x;
(4)函数y=f(x)是区间(a,b)上的增函数,则函数y=2012f(x)-
2012
f(x)
也是区间(a,b) 上的增函数;
(5)若函数f (x)满足f(-x)=f(x),且当x∈[0,+∞)时f(x)=x2+2x-2,则关于x不等式f(x-1)<1的解集为(0,2).

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