Question

已知锐角△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，边a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，角A、B满足关系2sin（A+B）-

3

=0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积．

Answer 1

分析：由已知等式求出sin（A+B）的值，根据三角形ABC为锐角三角形，确定出A+B及C的度数，再由a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，利用韦达定理求出a+b与ab的值，利用余弦定理列出关系式，将cosA值代入并利用完全平方公式化简，把a+b与ab的值代入求出c的值，由ab与sinC的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵2sin（A+B）-

3

=0，
∴sin（A+B）=

3

2

，
∵△ABC为锐角三角形，
∴A+B=120°，即C=60°，
∵a、b是方程x²-2

3

x+2=0的两根，
∴a+b=2

3

，ab=2，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c=

6

，S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．