Question

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

Answer 1

分析：（1）根据x年的总费用除以年数x可得到年平均污水处理费用，可得到关系式．
（2）将关系式化简为y=x+

100

x

+1.5（x＞0），根据均值不等式可求出年平均费用的最低值和对应的年数．

解答：解：（1）由题意可知
年平均污水处理费用为：
y=

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)

x

即y=x+

100

x

+1.5（x＞0）；
（2）由均值不等式得：y=x+

100

x

+1.5≥2

x• 100 x

+1.5=21.5（万元）
当且仅当x=

100

x

，即x=10时取到等号
答：该企业10年后需要重新更换新设备．

点评：本土主要考查均值不等式的应用．考查对基础知识的理解和认识．属基础题．