Question

如图，正方体AC₁
（1）在BD上确定一点E，使D₁E∥面A₁C₁B；
（2）求直线BB₁和面A₁C₁B所成角的正弦值；
（3）求面A₁C₁B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，B₁D₁，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接D₁O，O₁B，则可证D₁O∥面A₁C₁B，即可得到结论；
（2）连接B₁D，则B₁D⊥面A₁C₁B，设垂足为G，则∠GBB₁为直线BB₁和面A₁C₁B所成角，即可求解；
（3）△A₁C₁B在底面ABCD中的射影为△ACB，则面A₁C₁B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为

S△ACB

SABCD

，从而可得结论．

解答：解：（1）连接AC，B₁D₁，AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连接D₁O，O₁B，则
∵D₁O₁=BO，D₁O₁∥BO，∴四边形D₁OBO₁是平行四边形，
∴D₁O∥O₁B
∵D₁O?平面A₁C₁B，O₁B?平面A₁C₁B，
∴D₁O∥面A₁C₁B；
∴BD上存在中点E，使D₁E∥面A₁C₁B；
（2）连接B₁D，则B₁D⊥面A₁C₁B，设垂足为G，则∠GBB₁为直线BB₁和面A₁C₁B所成角
∵B₁G=

1

3

B₁D=

3

3

BB₁，
∴直线BB₁和面A₁C₁B所成角的正弦值为

3

3

；
（3）∵△A₁C₁B在底面ABCD中的射影为△ACB
∴面A₁C₁B与底面ABCD所成二面角的平面角的余弦值为

S△ACB

SABCD

=

1

2

∴面A₁C₁B与底面ABCD所成二面角的平面角的正弦值

3

2

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．