Question

【题目】已知函数的定义域为，若函数满足：对于给定的 ，存在，使得成立，那么称具有性质.

（1）函数 是否具有性质？说明理由；

（2）已知函数具有性质，求的最大值；

（3）已知函数的定义域为，满足，且的图像是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数具有性质，若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）不具有；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）利用f（x0）=f（x0+），求出x0，根据定义，即可得出结论；

（Ⅱ）m的最大值为．分类进行证明，当m=时，函数f（x）具有性质P（）；假设存在＜m＜1，使得函数f（x）具有性质P（m），则0＜1﹣m＜，证明不存在x0∈（0，1﹣m]，使得f（x0）=f（x0+m）即可；

（Ⅲ）任取k∈N*且k≥2，设g（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0， ]，利用叠加法可得g（0）+g（）+…+g（）+…+g（）=f（1）﹣f（0）=0，分类讨论：当g（0）、g（）、…、g（）中有一个为0时，函数f（x）具有性质P（）；当g（0）、g（）、…、g（）均不为0时，由于其和为0，则必然存在正数和负数，进而可证函数f（x）具有性质P（）．

试题解析：

（1）函数f（x）=sinx（x∈[0，1]），不具有性质P（）

证明如下：

对任何t∈[0，1﹣]=[0，]，均有0≤t≤t+≤1

由于函数f（x）=sinx，在x∈[0，1]上单调递增

∴f（t）＜f（t+）

所以，函数f（x）=sinx（x∈[0，1]不具有性质P（）

（2）T的最大值为．求解如下：

∵f（）=f（1）=﹣3×1﹣4=1，又f（）=6×﹣2=1

∴f（t+）=f（t）在t∈[0，1﹣]上有解，t=

因此，f（x）具有性质P（），从而T可取到

下证： ＜T＜1不可能出现．

首先，当x∈（0， ]时，f（x）=﹣3x+1＜1，当x∈（， ）时，f（x）=6x﹣2＜6×﹣2=1

即，当x∈（0， ）时，均有f（x）＜1，同理可得，当x∈（，1），均有f（x）＞1．

假设＜T＜1，那么，当t∈0，1﹣T]时

①若t=0，则f（t）=f（0）=1，又t+T=T∈（，1），

所以f（t+T）=f（T）＞1，即f（t+T）＞f（t）

②若t∈（0，1﹣T] （0， ），则f（t）＜1，又t+T∈（T，1），注意到＜T＜1，故

f（t+T）＞1，故f（t+T）＞f（t）

这就是说，如果＜T＜1，那么，当t∈[0，1﹣T]时，

均有f（t+T）＞f（t），即f（t+T）=f（t）均不成立

综上所述，T的最大值为

（3）任取n∈N+，n≥2，设h（x）=f（x+）﹣f（x），其中x∈[0，]，则有

h（0）=f（）﹣f（0）

h（）=f（）﹣f（）

h（）=f（）﹣f（）

…

h（）=f（）﹣f（）

…

h（）=f（1）﹣f（）

以上各式相加得h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）=f（1）﹣f（0）=0，

即h（0）+h（）+f（）+…+h（）+…+h（）=0

当h（0），h（），f（），…，h（）中有一个为0时，不妨设为h（）=0，这里i∈{0，1，2，…，n﹣1}，

而0=h（）=f（+）﹣f（），即f（+）﹣f（）=0

推得f（+）=f（）

故函数f（x）具有性质P（）（n∈N+，n≥2）

当h（0），h（），f（），…，h（）均不为0时，因为其和为0，所以必然存在正数与负数，

不妨设h（）＞0，h（）＜0，（i＜j，i，j∈{0，1，2…，n﹣1}）

由于h（x）的图象也是连续不断的曲线，故，至少存在一个t∈（，）使得h（t）=0，即f（t+）﹣f（t）=0．

亦即f（t+）=f（t），故函数f（x）具有性质P（）（n∈N+，n≥2）

综上所述，存在正整数n，且n的取值集合是{n|n∈N+，n≥2}．