Question

如图，在多面体ABCDE中，底面△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°，侧面BCDE是菱形，O点是BC的中点，EO⊥平面ABC．
（1）求异直线AC和BE所成角的大小；
（2）求平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）∵EO⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴EO⊥AC
又∵∠ACB=90°
∴AC⊥BC，BC∩OE=O
∴AC⊥平面BCDE…2分
∵BE?平面BCDE
∴AC⊥BE
∴异直线AC和BE所成角为90°…4分
（2）连接BD，CE，侧面BCDE是菱形，则BD⊥CE
∵AC⊥平面BCDE
∴AC⊥BD
∴BD⊥平面ACE
∴BD⊥AE
过B作BH⊥AE于H，连接DH，则AE⊥平面BHD
∴DH⊥AE，∠BHD为二面角B-AE-D的平面角…6分
设BC=2，则BC=CA=BE=2，AB=2
∵EO⊥BC，BO=CO=1
∴∠EBC=60°，∠BCD=120°
∴BD=2，CE=2，
在直角△ACE中，得，AE=2，在△BE中，易得BH=…8分
∴△BHE≌△DHE，
∴DH=BH=…9分
在△BHD中，由余弦定理得cos∠BHD=-…11分
即平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值为
分析：（1）由已知中∠ACB=90°，EO⊥平面ABC易得EO⊥AC，AC⊥BC，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BCDE，进而由线面垂直的性质得AC⊥BE，可求异直线AC和BE所成角的大小；
（2）连接BD，CE，由线面垂直的判定定理和性质可得BD⊥AE，过B作BH⊥AE于H，连接DH，可得∠BHD为二面角B-AE-D的平面角，解三角形BDH，即可得到平面ABE与平面ADE所成锐二面角的余弦值．
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，异面直线及其所成的角，其中根据异面直线夹角和二面角的定义，先找出它们的平面角，将问题转化为解三角形问题，是解答此类问题的关键．