Question

已知函数y=f（x）的图象是一条直线，且在两坐标轴上的截距都是2，函数g（x）=x²-2x．
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x满足f（x）+g（x）＜2时，求

g(x)+1

2-f(x)

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用直线的截距式方程求解；
（Ⅱ）由f（x）+g（x）＜2求出x的取值范围，然后利用基本不等式可求出

g(x)+1

2-f(x)

的最小值．

解答：（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象是一条直线，且在两坐标轴上的截距都是2
∴

x

2

+

y

2

=1即y=2-x，则f（x）=2-x----------------（4分）
（Ⅱ）由f（x）+g（x）＜2，得2-x+x²-2x＜2，即x²-3x＜0，解得0＜x＜3----------------------（8分）

g(x)+1

2-f(x)

=

x2-2x+1

x

=x+

1

x

-2≥2-2=0-------------（12分）
等号仅当x=

1

x

（0＜x＜3），即x=1时成立，
所以当x=1时

g(x)+1

2-f(x)

取最小值0--------（14分）

点评：本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，以及直线的截距式方程，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．